On the existence of transmission eigenvalues in an inhomogeneous medium

We prove the existence of transmission eigenvalues corresponding to the inverse scattering problem for isotropic and anisotropic media for both scalar Helmholtz equation and Maxwell’s equations. Considering a generalized abstract eigenvalue problem, we are able to extend the ideas of Päivärinta and Sylvester [15] to prove the existence of transmission eigenvalues for a larger class of interior transmission problems. Our analysis includes both the case of a medium with positive contrast and of a medium with negative contrast provided that this contrast is large enough. Key-words: Inverse scattering problems in electromagnetism and acoustics, transmission eigenvalues, interior transmission problem This work has been accomplished in the framework of the INRIA associated team ISIP ∗ Department of Mathematical Sciences, University of Delaware, Newark, Delaware 197162553, USA † INRIA Saclay Ile de France / CMAP Ecole Polytechnique, Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex FRANCE in ria -0 03 47 84 0, v er si on 1 16 D ec 2 00 8 Sur l’existance de fréquences propres de transmission dans des milieux non homogènes Résumé : Nous montrons l’existance de fréquences propres de transmission correpondant au problème de diffraction inverse par des inclusions isotropes ou anisotropes. Nous traitons aussi bien le cas scalaire (équation de Helmholtz) que le cas vectoriel (équations de Maxwell). Notre approche est basée sur l’étude d’un problème aux valeurs propres généralisé permettant d’étendre la preuve proposée par Päivärinta et Sylvester [15] à une classe plus large de problèmes de transmission intérieurs. Notre analyse inclut les cas de contrastes positifs ou négatifs suffisamment grands. Mots-clés : Problèmes de diffraction inverse en électromagnétisme et en acoustique, fréquences propres de transmission in ria -0 03 47 84 0, v er si on 1 16 D ec 2 00 8 Existence of transmission eigenvalues 3